掉落率的數學：5% 不是打 20 次一定掉
換句話說，如果有 100 位玩家各自去打 20 次，平均大約會有 64 位玩家至少拿到一次，但也會有約 36 位玩家完全空手。36 位不是少數，將近三分之一。你在論壇上看到有人抱怨「打 20 次都沒掉」，這不是他特別倒楣，也不是遊戲針對他，而是這個機率分布本來就會產生這樣的結果。
用 20 面骰比喻：20 次不一定會丟到指定那一面
5% 大約可以想像成一個 20 面骰，其中只有一面是中獎面。你丟 20 次，會一定出現那一面嗎？不一定。每次丟擲都是獨立事件，20 次都沒丟到指定面的機率是 (19/20)20，算出來同樣約 35.85%。所以「20 面骰丟 20 次」和「5% 掉落打 20 次」在數學模型上是同一件事：次數等於分母，並不代表保證命中。
這也是為什麼很多遊戲攻略會說「5% 掉落，期望值 20 次」，但不會說「20 次必掉」。期望值談的是長期平均，不是單一玩家的短期保證。這兩件事一定要分清楚，否則很容易產生錯誤期待，最後把時間與資源投入在錯誤的目標上。
二、核心公式：至少一次與所需場次
要看懂掉落率，其實只需要掌握兩個公式。第一個公式算「打了 n 次後，至少掉一次的機率」；第二個公式反過來算「想達到某個目標機率，需要打幾次」。這兩個公式不只適用於 5%，也可以套用到 1%、0.5%、10% 等不同掉落率。以下先用 p 代表單次掉落率，q 代表單次沒掉的機率，n 代表挑戰次數。
公式一：至少一次機率 P = 1 − (1 − p)n
這個公式的意思是：先算 n 次全部失敗的機率，也就是 (1 − p)n，再用 1 減掉它。以 5% 為例，p = 0.05，1 − p = 0.95。打 20 次至少一次的機率就是 1 − 0.9520，約 64.15%。打 10 次則是 1 − 0.9510，約 40.13%。打 45 次則是 1 − 0.9545，約 90.06%。
這個公式有一個很重要的特性：它永遠不會達到 100%，除非 n 無限大，或遊戲直接給你保底。也就是說，只要單次掉落率不是 100%，理論上你打任何有限次數，都仍然存在「全部沒掉」的可能性。這就是為什麼我們不能說「打 100 次一定掉」，只能說「打 100 次有很高的機率至少掉一次」。
公式二：想達到目標機率，需要打幾次？
如果你希望至少有 P 的把握拿到掉落物，可以把公式反推：
n = ln(1 − P) / ln(1 − p)
以 p = 0.05 為例，如果想達到 90% 至少掉一次，n = ln(0.1) / ln(0.95) ≈ 44.89，無條件進位為 45 次。如果想達到 95%，n = ln(0.05) / ln(0.95) ≈ 58.4，約需 59 次。如果想達到 99%，n = ln(0.01) / ln(0.95) ≈ 89.78，約需 90 次。這些次數是「目標機率」對應的挑戰次數，不是保證次數。
這裡要特別提醒：目標機率越高，所需次數會增加得很快。從 90% 到 95%，只多 5 個百分點，但次數從約 45 次增加到約 59 次；從 95% 到 99%，又從約 59 次增加到約 90 次。這就是機率分布的「尾巴成本」。很多玩家會覺得「再刷一下應該就 99% 了吧」，但實際上越接近 100%，每提升一點點把握，都需要付出不成比例的時間。
次數與至少掉落一次對照表
單次掉落率 5%，不同挑戰次數下至少掉一次的機率
挑戰次數
至少掉一次
仍然完全空手
1 次5.00%95.00%
5 次22.62%77.38%
10 次40.13%59.87%
14 次約 51.23%約 48.77%
20 次64.15%35.85%
30 次78.54%21.46%
45 次90.06%9.94%
50 次92.31%7.69%
59 次95.15%4.85%
90 次99.01%0.99%
100 次99.41%0.59%
135 次約 99.90%約 0.10%
180 次約 99.99%約 0.01%
從表格可以看到，20 次只有 64.15%，離「一定掉」還很遠。想要有九成把握，大約要打到 45 次；想要有九成九把握，大約要打到 90 次。這還沒考慮你每場要花的時間、體力、門票或藥水成本。所以真正專業的刷寶規劃，不是問「打幾次一定掉」，而是問「我願意為了多少機率付出多少成本」。
期望值 20 次，不代表第 20 次必掉
幾何分布的期望值公式是 1 / p。當 p = 0.05 時，期望次數就是 20 次。這表示如果你長期大量重複這個過程，平均每 20 次會掉一件。但「平均 20 次」和「第 20 次一定掉」完全是兩回事。平均會被極端值影響：有人 1 次就中，有人 50 次才中，也有人 100 次才中，這些人的結果平均起來可能接近 20 次，但沒有一個人的經驗會剛好長成平均值。
更細一點看，5% 掉落的幾何分布中位數大約是 14 次。中位數的意思是：大約一半的玩家會在 14 次內至少掉一次，另一半會超過 14 次。期望值 20 次、中位數 14 次，這兩個數字並不矛盾，因為分布是右偏的：少數運氣很差的人會把平均值拉高。幾何分布的變異數是 (1 − p) / p2，以 p = 0.05 計算，變異數是 380，標準差約 19.49 次。標準差幾乎和期望值一樣大，代表短期波動非常劇烈。
所以，如果你打 20 次沒掉，不需要覺得「機率壞了」。從數學上來看，這完全在正常範圍內。真正該做的，是確認自己的目標機率、成本上限與停損點，而不是把「期望值 20 次」誤解成「第 20 次會補償我」。
三、六個常見誤區：從賭徒謬誤到保底機制
掉落率會讓人產生誤解，通常不是因為數學太難，而是因為大腦很擅長找規律。以下整理六個玩家最常遇到的機率誤區。這些誤區不只影響打寶，也會影響抽卡、轉蛋、刷素材與資源分配。看懂之後，你會比較不容易被短期結果牽著走。
誤區一：前面沒掉，下一把「該掉了」
這是最经典的賭徒謬誤。假設每次掉落都是獨立事件，前面 19 次沒掉，第 20 次的掉落率仍然是 5%，不會變成 50%、80% 或 100%。硬幣不會記得自己連續出現幾次反面，遊戲的隨機判定也不會因為你「很可憐」就補償你。除非遊戲官方明確寫出「累積機率」、「保底」或「第 n 次必得」，否則過去的失敗不會改變下一次的單次機率。
賭徒謬誤最危險的地方，是它會讓人產生「再一把就會中」的錯覺。當你已經投入很多次，這個錯覺會變得更強，最後可能變成過度消費或熬夜刷本。請記得：獨立事件沒有記憶，你的第 21 次仍然是全新的一次 5%。
誤區二：已經刷很多次，現在放棄很虧
這是沉沒成本謬誤。你已經投入的時間、體力與資源，不管繼續或停止，都已經收不回來了。理性決策應該看的是「從現在開始，繼續刷的邊際收益是否值得邊際成本」，而不是「我已經刷了這麼多，不能白費」。如果一場要 10 分鐘，你已經刷了 50 場，接下來的第 51 場仍然只是 5% 的單次機會，不會因為前面 50 場而提高。
比較健康的做法，是在開始前就設定停損：例如「最多刷 30 場」、「最多花 5 瓶體力水」、「如果超過晚上 11 點就停」。停損不是放棄，而是把資源留給其他更值得的目標。遊戲裡的機會很多，沒有必要把全部時間押在同一個 5% 上。
誤區三：大數定律會幫我「補」回來
大數定律說的是：當試驗次數非常大時，實際發生的比例會趨近於理論機率。例如你丟硬幣 100 萬次，正面比例會很接近 50%。但這不代表短期內會「補償」你。你前面連續 10 次沒掉，不會因此在接下來 10 次提高掉落率。大數定律只保證長期比例趨近，不保證短期平衡。
而且「長期」可能比你想像的還要長。以 5% 為例，打 100 次仍然有約 0.59% 的機率完全空手；打 180 次也還有約 0.01% 的機率空手。對單一玩家來說，你不一定能活到「大數」發揮作用的那一天。所以，不要用大數定律安慰自己「再刷一定會補回來」，而是要用目標機率與成本來做決策。
誤區四：5% 就是「每 20 次固定一次」
5% 的期望值是 20 次，但這不是固定週期。它不是「第 1 到 19 次都不掉，第 20 次一定掉」的機制。真正的獨立 5% 掉落，可能第 1 次就掉，也可能第 40 次才掉，甚至第 100 次才掉。20 次只是長期平均，不是排程。很多玩家會把「平均」誤解成「規律」，於是在第 19 次沒掉時覺得第 20 次「穩了」，這就是錯誤的期待。
如果你玩的遊戲確實有「每 20 次保底」的設計，那當然另當別論。但你要先確認官方規則是「每抽固定 5%」還是「前 19 抽 5%，第 20 抽必得」。這兩種模型的機率分布完全不同，不能混為一談。
誤區五：偽隨機與真隨機沒差
有些遊戲為了避免玩家連續失敗太多次，會使用偽隨機分布或動態機率。例如面板寫 5%，但實際上前幾次失敗後，下一次的內部機率可能稍微提高。這種設計會讓「連續空手」的機率下降，也會讓實際體驗和純獨立 5% 不同。相反的，有些遊戲堅持真隨機，每次都固定 5%，那 20 次空手的機率就是 35.85%。
所以，看到「5%」時，第一步不是開始算 20 次，而是先看官方說明：這是固定獨立機率，還是有保底？有沒有人物等級、幸運值、掉落加成、組隊人數或難度影響？同一個 5% 在不同遊戲裡，可能代表不同的實際分布。若遊戲有公布機率表或保底規則，請以官方資訊為準。
誤區六：99% 就等於一定
很多人會覺得 99% 已經「差不多一定了」，但 99% 仍然有 1% 的失敗機率。以 5% 掉落來說，要打到約 90 次才有 99% 的至少一次機率；也就是說，即使你打到 90 次，仍然有大約 1% 的玩家會空手。如果目標是 99.9%，次數還要再往上加。只有當機率是 100%，或遊戲直接給你保底，才叫「一定」。
這不是要你追求 100%，而是提醒你：不要把「高機率」說成「保證」。在論壇上討論時，精確一點說「90 次約有 99% 機率至少掉一次」，會比說「90 次一定掉」更正確，也比較不會誤導其他玩家。
四、實戰應用：用數學規劃你的刷寶路線
理解公式之後，接下來要把它變成可執行的刷寶策略。數學不是要你變成計算機，而是幫你在開始刷之前，先想清楚目標、成本與停損。以下用五個步驟，帶你把「5% 掉落」轉換成實際的時間與資源規劃。無論你是刷王、刷素材、抽卡還是打活動，都可以套用類似概念。
步驟一：確認掉落模型與保底規則
第一步永遠是確認遊戲規則。這次掉落是每場獨立判定，還是每隻怪獨立判定？是击败王才判定，還是通關結算才判定？有沒有保底？有沒有「第 10 次必出」或「天井」？組隊時掉落是共享、個人獨立，還是尾刀才有？這些資訊會直接改變機率模型。如果官方沒有公開，就只能用玩家實測或拆包資料推估，但要注意樣本數是否足夠。
另外，也要確認「5%」是單次判定還是多次判定。例如一場戰鬥可能進行 3 次掉落判定，每次 5%，那至少掉一次的機率就是 1 − 0.953 ≈ 14.26%，而不是 5%。如果有多個掉落池，也要分開計算，不能把不同物品的機率混在一起。
步驟二：設定「目標機率」而不是「目標次數」
與其說「我要打 20 次」，不如說「我要有 90% 的把握拿到」。以 5% 掉落為例，90% 把握約需 45 次，95% 把握約需 59 次，99% 把握約需 90 次。你可以根據自己的時間與資源，選擇一個合理的目標機率。如果你只是想要「有機會拿到」，打 20 次已經有 64.15%；如果你是要拼成就或稀有外觀，可能就需要設定更高的目標。
設定目標機率的好處，是你可以事先知道「即使達標，仍然可能失敗」。這聽起來有點悲觀，但其實是比較健康的預期管理。當你知道 45 次只有 90% 把握，真的空手時也比較不會覺得世界崩塌；而如果你 lucky 提前拿到，也會覺得是額外驚喜，而不是理所當然。
步驟三：把場次換算成時間與資源
假設一場要 3 分鐘，45 場就是 135 分鐘，大約 2 小時 15 分鐘。如果一場要 10 分鐘，45 場就是 450 分鐘，將近 7.5 小時。這還沒算排隊、補給、失敗重打與讀取時間。你可以用這個方式，把「機率」換算成「實際成本」，再決定這個目標值不值得。
資源也一樣。如果每場要花 1 瓶體力水，45 場就是 45 瓶；如果每場要花門票或入場券，也要一併計算。有些玩家只算「場次」，卻忽略背後的時間與資源，最後刷到影響生活作息。用數學規劃不是要你更沉迷，而是要你在投入之前，先看清楚代價。
步驟四：用二項分布看「多件需求」
如果你只需要一件，用「至少一次」公式就夠了。但如果你需要兩件、三件，甚至整套裝備，就要用二項分布的概念。以 20 次、每次 5% 為例，恰好掉 0 件的機率約 35.85%，恰好 1 件約 37.74%，恰好 2 件約 18.87%，恰好 3 件約 5.96%。所以 20 次內至少 2 件的機率約 26.42%，至少 3 件約 7.55%。換句話說，如果你需要兩件，20 次只有大約四分之一左右的機率能達標。
需求件數越多，所需場次會增加得越快。期望值可以粗略看成「件數 × 20 次」，例如要 3 件，平均約需 60 次。但這只是平均，實際分布仍然很寬。若你要拼多件，建議直接設定更高的目標機率，或利用保底、交換、拍賣場等替代途徑，不要把所有希望都寄託在單一掉落上。
步驟五：設定停損與紀錄
最後，也是最重要的一步：設定停損。你可以設定「最多打 30 場」、「最多花 3 小時」、「最多使用 10 瓶水」，時間到或資源到就停。停損不是不相信機率，而是保護自己不被沉沒成本綁架。你也可以簡單紀錄場次與掉落結果，一來可以驗證自己的體感是否合理，二來可以發現遊戲是否有隱藏保底或機率異常。
紀錄時要注意樣本數。打 10 場中 0 件，不代表掉落率不是 5%；打 10 場中 3 件，也不代表掉落率變成 30%。小樣本本來就波動很大。如果你真的想驗證，至少要有數百場以上的資料，並且確認每次判定條件一致，才有比較高的參考價值。
五、模擬案例：100 萬名玩家打 20 次會怎樣？
為了讓數字更有感，我們可以做一個簡單的思想實驗：假設有 100 萬名玩家，每人各自去打 20 次，每次掉落率固定 5%，而且每次獨立。根據二項分布，我們可以估算出大約有多少人會拿到 0 件、1 件、2 件、3 件或更多。這個模擬不會改變機率，但可以把抽象的百分比轉換成「人數」，讓你更直觀地理解為什麼論壇上會出現各種極端案例。
100 萬名玩家各打 20 次、單次 5% 的近似分布
20 次內掉落件數
近似機率
100 萬名玩家中約有多少人
0 件35.85%約 358,500 人
1 件37.74%約 377,400 人
2 件18.87%約 188,700 人
3 件5.96%約 59,600 人
4 件1.33%約 13,300 人
5 件以上約 0.25%約 2,500 人
從這個表可以看出，20 次內掉 0 件的人數其實非常龐大，大約 35.8 萬人。這不是「少數倒楣鬼」，而是超過三分之一。另一方面，20 次內掉 3 件以上的人也有好幾萬人，所以你在論壇上看到「我 20 次掉 4 件」的貼文，也不用覺得不可能。這就是機率分布：同一套規則會同時產生大量空手者與少數歐皇。
這也帶出一個常見的認知偏誤：倖存者偏差。論壇上會發文炫耀的，通常是運氣好的人；空手的人不一定會發文，或者發了文也被其他文章洗掉。於是我們很容易覺得「怎麼別人都掉，只有我沒掉」。但如果你把全體玩家攤開來看，空手者其實非常多。你並不孤單，只是社群媒體放大了極端案例。
再舉一個例子：10 次內掉 3 件的機率約 1.05%。聽起來很低，但在 100 萬名玩家中，大約會有 1 萬人遇到。1 萬人不是小數目，所以你在論壇上看到有人「10 抽 3 金」或「10 場 3 件」是很正常的。這不代表機率造假，也不代表他有什麼特殊技巧，只是分布中的右尾案例。
六、常見問題 FAQ
Q1：5% 打 20 次沒掉正常嗎？
非常正常。20 次全空的機率約 35.85%，也就是超過三分之一的玩家會遇到。你不需要覺得自己特別倒楣，也不需要懷疑遊戲針對你。若你已經打 20 次沒掉，只能說你落在這 35.85% 的區間裡，下一次仍然是全新的 5%。
Q2：那打 40 次呢？總該掉了吧？
打 40 次至少掉一次的機率是 1 − 0.9540。0.9540 約等於 0.1285，所以至少一次約 87.15%，仍然有約 12.85% 的機率完全空手。也就是說，40 次雖然比 20 次穩很多，但仍然不是保證。若你想要九成把握，約需 45 次；想要九成五把握，約需 59 次。
Q3：第 21 次會比較容易掉嗎？
如果每次是獨立事件，不會。第 21 次的單次掉落率仍然是 5%，不會因為你前面 20 次沒掉而提高。只有當遊戲有保底、累積機率或偽隨機分布時，第 21 次才可能依照規則提高機率。請先確認官方說明，不要用「感覺」來判斷。
Q4：打 100 次總該掉了吧？
打 100 次至少掉一次的機率約 99.41%，仍然有約 0.59% 的機率完全空手。0.59% 看起來很小，但如果玩家數量很多，還是會有人遇到。所以精確的說法是「打 100 次有約 99.41% 的機率至少掉一次」，不能說「100 次一定掉」。
Q5：為什麼有人一次就掉？
因為 5% 本來就代表每次有 5% 的機率掉落，第一次就掉的機率就是 5%。在玩家數量很多的情況下，第一次就掉的人絕對不會少。這不是他比較會玩，也不是他有隱藏加成，只是他剛好落在成功的 5% 裡。同樣地，也有人打 50 次才掉，這都是分布的一部分。
Q6：如果遊戲有「20 抽必中」保底，該怎麼算？
那就不是單純的獨立 5% 模型了。若規則是前 19 抽每次 5%，第 20 抽必中，則 20 抽內至少一件的機率是 100%。前 19 抽提前中獎的機率是 1 − 0.9519，約 62.34%；第 20 抽才保底觸發的機率約 37.66%。在這種模型下，期望次數會比純獨立 5% 的 20 次低很多。實際數字要看保底規則，不能直接把 5% 和保底分開算。
Q7：我到底該不該繼續刷？
這不是純數學問題，還要看你的目標、時間、資源與樂趣。如果你只是想要「有機會拿到」，可以設定較低的目標機率；如果你是要拼成就，則要接受較高的成本與失敗風險。最理性的做法，是事先設定停損，並把替代方案列入考慮，例如交易所、兌換商店、活動獎勵或好友互助。玩遊戲是為了開心，不要讓 5% 變成壓力來源。
七、結論：把 5% 當成 5%，不是 100%
回到最初的問題：「5% 打 20 次一定掉嗎？」答案是：不一定。20 次至少掉一次的機率約 64.15%，仍然有約 35.85% 的機率完全空手。期望值 20 次只是長期平均，不是第 20 次的保證。中位數約 14 次，標準差約 19.49 次，代表短期波動非常大。這些數字告訴我們，掉落率不是一條穩定的進度條，而是一個會出現極端結果的機率分布。
理解這件事之後，你就可以用比較健康的方式規劃刷寶：先確認遊戲的掉落模型與保底規則，再設定目標機率，把場次換算成時間與資源，最後設定停損。你想追求 64% 的「有機會」，還是 90% 的「比較穩」，或是 99% 的「幾乎必得」，都可以自己選擇。重點是知道每個選擇背後的代價，而不是被「打 20 次一定掉」的錯誤直覺牽著走。
在雅寶社區 · 頂客論壇，我們鼓勵大家分享實測、討論攻略，也提醒彼此理性遊戲。下次看到「5% 掉落」時，不妨先算一下：你真正想要的把握是多少？你願意付出多少場次？當你把數學放在心裡，刷寶就不再只是無止境的賭運氣，而是一場可以規劃、可以停損，也可以享受過程的遊戲。祝各位都能在合理的次數內拿到想要的寶物，也歡迎把這篇文章分享給那位「覺得打 20 次一定掉」的朋友。